比特币价格和时间有关系吗？一文看懂比特币价值的对数增长模型

本文探讨时间与比特币价格之间是否存在关系。 所提出的对数对数 (log-log) 模型 [1.2&3] 针对最小二乘假设进行了统计有效性检验，并使用 Engle-Granger 方法进行协整，以确保每个变量的平稳性以及潜在的虚假关系。 除了一个测试之外，所有这些测试都反驳了时间是比特币价格的重要预测指标的假设。

各种来源 [1、2 和 3] 提出了一个对数价格 ~ 对数时间（也称为对数增长）模型来解释比特币价格变动的很大一部分，从而形成了一种估算未来比特币价格的机制。

大多数人很难理解科学方法。 这是违反直觉的。 它可能会得出不反映个人信仰的结论。 理解这个基本概念是该方法的基础：错误是可以接受的。

根据伟大的现代科学哲学家卡尔·波普 (Karl Popper) 的说法，检验假说的错误结果是增加论证有效性的唯一可靠方法。 如果严格和重复的测试未能表明假设是不正确的，那么对于每个测试，假设都具有高度的真实性。 这个概念称为可证伪性。 本文旨在证伪比特币价值的对数增长模型，该模型基本定义在[1、2、3]中。

注意：所有分析均使用 Stata 14 进行。本文不构成财务建议。

定义问题

为了伪造假设计算btc的日对数收益率，首先我们必须说出它是什么：

零假设 (H0)：比特币的价格是比特币存在天数的函数

备择假设 (H1)：比特币的价格不是比特币存在天数的函数

[1、2 和 3] 的作者选择通过对比特币价格的自然对数和比特币年龄的自然对数拟合普通最小二乘法 (OLS) 回归来检验 H0。 这两个变量都没有伴随的诊断过程，也没有任何明确的对数转换推理。 该模型没有考虑由于非平稳性导致虚假关系的可能性，也没有考虑任何相互作用或其他混杂因素的可能性。

方法

在本文中，我们探索模型并通过常规回归诊断运行它，确定对数转换是否必要或适当（或两者），并探索可能的混杂变量、相互作用和对混杂的敏感性。

另一个将要探讨的问题是非平稳性。 平稳性是大多数统计模型的假设。 这个概念是在任何时刻都没有随时间变化的趋势，例如，关于时间的均值（或方差）没有趋势。

在平稳性分析之后，我们将探讨协整的可能性。

象征

Medium 在数学符号方面相对有限。 估计统计参数的常用符号是在其上放置一个范围。 相反，我们将项的估计定义为 []。 例如，估计值 β = [β]。 如果我们表示一个 2x2 矩阵，我们会做类似 [r1c1.r1c2 r2c1.r2c2] 等的事情。下标项被替换为 @ - 例如，对于向量 X 中的第 10 个位置，我们通常将 X 下标为 10。我们写 X @10。

普通最小二乘

普通最小二乘回归是一种估计两个或多个变量之间线性关系的方法。

首先，让我们将线性模型定义为 X 等于 Y 的某个函数，但有一些误差。

Y =βX+ε

其中 Y 是因变量，X 是自变量，ε 是误差项，β 是 X 的乘数。OLS 的目标是估计 β 以使 ε 最小化。

为了使 [β] 成为可靠的估计量，必须满足一些基本假设（称为高斯-马尔可夫假设 [4]）：

因变量和自变量之间存在线性关系

误差是同质的（即，它们具有恒定的方差）

错误的平均分布为零

误差不存在自相关（即误差与误差的滞后无关）

线性度

我们首先查看价格与天数的未转换散点图（来自 Coinmetrics 的数据）。

图 1 - 价格与天数。 数据分布太宽，无法直观地确定线性度。

在图 1 中，我们遇到了一个很好的理由来取价格的对数 - 跨度太大。 取价格的对数（而不是日）并重新绘制它，我们就会得到熟悉的对数显示模式（图 2）

图 2 - 对数价格 v 天数。 一个清晰的对数模式正在出现。

取数天的对数并再次绘制它产生了一个明显的线性模式，由图 3 中 [1、2 和 3] 的作者确定。

图 3 - 出现明显的线性关系

这证实了对数对数选择——唯一实际显示良好线性关系的转换。

图 4 – 平方根变换比未变换的序列好得多

因此，初步分析不能否定 H0。

下面的图 5 给出了对数对数拟合回归，其中 [β] = 5.8

图 5 — 对数-对数回归结果

使用这个模型，我们现在可以估计残差 [ε] 和拟合值 [Y] 并检验其他假设。

同质性

如果误差项中的恒定方差假设（即同心平稳性）为真，则对于预测中的每个值，误差项将在 0 附近随机变化。 因此，裂谷热图（图 6）是一种简单有效的图形方法来研究该假设的准确性。 在图 6 中，我们看到有一个大的模式，而不是随机散布，表明误差项的非恒定方差（即异方差性）。

图 6a - RVF 图。 这里的模式表明存在问题。

像这样的异方差性会导致系数 [β] 的估计具有较大的方差，因此不够精确，并导致 p 值比应有的大得多，因为 OLS 程序无法检测到增加的方差。 因此，当我们随后计算t值和F值时，我们使用了对方差的低估，从而导致更高的显着性。 这也对 β 的 95% 置信区间有影响，它本身是方差的函数（通过标准误差）。

自相关的 Breusch-Godfrey [6&7] 统计量也很重要，为这个问题提供了进一步的证据。

图 6b - 检测到的残差中的自相关

在这个阶段，通常是我们停下来重新指定模型的时候。 然而，鉴于我们知道这些问题的影响，继续进行回归分析以确定它们是否存在会相对安全。 我们可以通过多种方式处理（温和形式）这些问题，例如自举或使用稳健的方差估计器。

图 7——不同的估计显示了异方差的影响

如图 7 所示，尽管方差略有增加（请参阅扩展的置信区间），但在大多数情况下，异方差的存在实际上并没有太大的不利影响。

错误的常态

误差项服从均值为零的正态分布的假设不如线性或同方差重要。 非正态但不偏斜的残差会使置信区间过于乐观。 如果残差是偏斜的，那么你最终可能会有一点偏斜。 从图 8 和图 9 可以看出，残差严重偏斜。 Shapiro-Wilk 正态性检验的 p 值为 0。它们不完全符合正态曲线计算btc的日对数收益率，因此置信区间不受影响。

图 8 - 误差项直方图，正态分布（绿色）叠加。 这个错误项应该是正常的，但事实并非如此。

图 9 - 误差项的正态分位数图。 点越接近直线，法线拟合越好。

杠杆作用

杠杆的概念是并非回归中的所有数据点都对系数的估计值有相同的贡献。 一些具有高杠杆作用的点可能会根据它们的存在或不存在而显着改变系数。 在图 10 中，我们可以清楚地看到涉及的点数过多（高于平均剩余金额和高于平均杠杆）。

图 10 - 利用 v 平方残差。

最小二乘 (OLS) 总结

基本诊断表明，除了线性之外，基本上所有的高斯-马尔可夫假设都被违反了。 这是拒绝 H0 的相对有力的证据。

稳态

据说平稳过程以 0 阶积分（例如 I(0)）。 非平稳过程为 I(1) 或更大。 在这种情况下，合奏更像是一个穷人的合奏——它是滞后差异的总和。 I(1) 意味着如果我们从序列中的每个值中减去第一个滞后，我们将得到一个 I(0) 过程。 众所周知，非平稳时间序列的回归可以导致虚假关系的识别。

在下面的图 12 和图 13 中，我们可以看到我们无法拒绝 Augmented Dickey Fuller (ADF) 检验的原假设。 ADF 检验的原假设是数据不稳定。 这意味着我们不能说数据是固定的。

图 11 和 12 – GLS 增强型 ADF 测试，具有创纪录价格和创纪录天数的单位根。

Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS) 检验是 ADF 检验的平稳性补充检验。 该检验的原假设是数据是平稳的。 如图 13 和 14 所示，我们可以拒绝两个变量中大多数滞后的平稳性。

图 13 和 14 - 无效的 KPSS 平稳性测试

这些测试证明这两个系列无疑是平稳的。 这有点问题。 如果序列至少不是趋势平稳的，则 OLS 可能会误导您识别虚假关系。 我们可以做的一件事是获取每个变量的每日日志差异并重建我们的 OLS。 然而，由于这个问题在计量经济学中很常见，我们可以使用一个更强大的框架——协整。

协整

协整是一种采用一对（或更多）I(1) 过程并确定关系是否存在以及该关系是什么的方法。 为了理解协整，我们举一个简化的例子，一个醉汉和她的狗 [3]。 想象一个醉汉牵着狗带遛狗回家。 醉汉走来走去，这条狗乱走：嗅树、吠叫、追逐、抓挠。 不过，狗的大致行进方向会在醉酒者牵绳的范围内。 我们可以估计，无论醉酒者走到哪里，狗都会在醉酒者的皮带长度之内（当然它可能在一侧或另一侧，但狗必须在皮带长度之内）。 这种糟糕的简化是对协整的粗略比喻——狗和主人一起移动。

将此与相关性进行对比——假设一只流浪狗沿着醉汉走了 95% 的回家路，然后跑开去追车到城镇的另一边。 无家可归和步行行为之间会有很强的相关性（字面意思是 R²：95%），但就像一个拥有床头柜很多个晚上的醉汉——这种关系并不意味着什么——它不能用来预测一个醉汉在哪里旅行将会发生，对于旅行的某些部分，这是真的，而对于某些部分，这根本不是真的。

要找到醉汉，首先，我们要看看我们的模型应该使用什么样的滞后规范。

图 15 - 延迟订单说明。 最小 AIC 用于确定。

我们在这里确定，通过选择最小的 AIC 进行调查的最合适的滞后阶数是 6。

接下来，我们需要确定是否存在协整。 简单的 Engle-Granger 框架 [8.9.10] 使这变得相对容易。 如果检验统计量比临界值更负，则存在协整。

图 16 — 检验统计量远非小于任何临界值

图 16 中的结果没有显示对数价格和对数天数之间存在协整方程的证据。

局限性

在这项研究中，我们没有考虑任何混杂变量。 鉴于上述证据，任何混杂因素都不太可能对我们的结论产生重大影响——我们可以拒绝 H0。 我们可以说“日志天数和日志比特币价格之间没有关系”。 如果是这种情况，则存在共同关系。

结论：鉴于所有高斯马尔可夫假设都违反了有效线性回归假设，并且没有可检测的协整，并且两个变量都是非平稳的，因此有足够的证据拒绝 H0。 因此没有有效的线性回归。 对数价格与对数天数之间存在线性关系，因此不能可靠地预测样本估计价格。